（摂南大学）─その３:蜘蛛の巣図法─

1999年摂南大学工学部の数学入試問題

$f(x)$ を実数を係数とする多項式とする。実数 $a$ に対し、 $a_1 = a$ から以下帰納的に $a_{n+1}=f(a_n)$ で数列 $\{a_n\}$ を定める。このとき、 $f(\alpha)=\alpha$ であることは、 $\lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$ であるためのどのような条件か。下から選べ。
(1)必要十分条件である。
(2)必要条件だが十分条件ではない。
(3)十分条件だか必要条件ではない。
(4)必要条件でも十分条件でもない。

の続きである。今回は、 $a_{n+1}=f(a_n)$ の形で定義される数列の振る舞いを図を用いて理解する方法である「蜘蛛の巣図法」を紹介しよう。

まずは、その1でもとりあげた数列 $a_1=0,a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$ の振る舞いを蜘蛛の巣図法を用いて考えてみよう。

まず、 $a_1=0$ であるから、 $x=0$ と $y=\sqrt{x+2}$ のグラフの交点を考える。交点の $y$ 座標が $a_2$ である。次に $a_3$ をきめたいのだが、 $a_2$ が $y$ 軸上にしかプロットされていないのでは困る。そこで、直線 $y=x$ に関して対称移動し、 $x$ 軸上に $a_2$ の値をプロットする。そのためには、 $y=a_2$ と $y=x$ の交点を考える。その $x$ 座標が $a_2$ である。続いて $x=a_2$ と $y=\sqrt{x+2}$ の交点の $y$ 座標を考えれば、 $a_3$ がプロットできる。これを $y=x$ に関して対称移動し、 $x$ 軸上に $a_3$ の値をプロットする。以下これを繰り返していく。その図が上の図になる。